1) الفكرة الأساسية — صورة بصرية وُسطية
- التفاضل (Derivative): يخبرك بمعدل التغيّر الفعلي لحظة بلحظة. إذا كانت لديك كمية تتغير مع الزمن (مثل المسافة )، فإن مشتقتها هي السرعة اللحظيةعند الزمن .
- بصريًا: المشتقة عند نقطة هي ميل المماس لمنحنى الدالة عند تلك النقطة.
- التكامل (Integral): يجمع أو "يتراكم" كميات صغيرة ليعطي مجموعًا كليًا. إذا أَعطاك السرعة ، فالتكامل من الوقت إلى يعطي المسافة المقطوعة بين الزمنين: .
- بصريًا: التكامل (المحدّد) هو المساحة تحت منحنى الدالة فوق المحور بين نقطتين.
هكذا:
التفاضل = الفرق الصغير (التغير اللحظي)،
التكامل = جمع تلك الفروق الصغيرة عبر فترة.
2) التعريف الصريح — حدود ودوال
التفاضل (التعريف بالحد):
لدالة ، مشتبتها عند تُعرّف بـحد نسبة التغير:
<br>f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},<br>
- مقارنة بعمليات الجمع والطرح: البُنية الأساسية في الكسر أعلاه هي فرق (طرح) مُقسوم على . لكن التفاضل يأخذ هذا الفرق ثم يقسمه (عملية قسمة) ويأخذ حدًّا عندما يكون صغيرًا. فالتفاضل يعتمد على الفرق (طرح) لكنه يحول الفرق إلى مُعدل (مقدار/وحدة).
التكامل (التعريف عبر مجموع ريمان):
التكامل المحدّد يُعرّف كحد لمجموعات (Riemann sums):
<br>\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x,<br>
- هنا العلاقة المباشرة مع الجمع: التكامل حرفيًا ناتج جمع لقطع صغيرة . أي التكامل هو جمع لانهائي في حدود (limit of sums).
3) العلاقة بين التفاضل والتكامل — النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل
هذه هي أهم جسر بين العمليتين:
النظرية الأساسية (Fundamental Theorem of Calculus) لها جزآن:
الجزء الأول: إذا كانت بحيث متصلة، فإن قابلة للاشتقاق و.
الشرح: إذا جمعت قيم من إلى فحين تغير قليلاً فإن مقدار التغير في الجمع يقترب من قيمة مضروبة في التغير في . إذًا مشتق تراكم يساوي القيمة اللحظية.
الجزء الثاني: إذا كانت لها أي أولية (أي ) فإن:
<br>\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).<br>
النتيجة العملية: التكامل (كمجموع متراكم) يمكن حسابه
